Préchauffez votre four à 200°C et tapissez une plaque de cuisson de papier sulfurisé.
Étalez la pâte feuilletée sur un plan de travail légèrement fariné jusqu'à environ 3 mm d'épaisseur.
Coupez la pâte en rectangles, d'environ 10 cm par 5 cm.
Placez une tranche de jambon et une quantité généreuse de fromage râpé sur une moitié de chaque rectangle.
Parsemez de thym, de sel et de poivre si désiré.
Pliez la pâte pour couvrir la garniture et pressez les bords pour sceller. Utilisez une fourchette pour cranter les bords pour une touche décorative.
Badigeonnez le dessus des bâtonnets avec l'œuf battu pour leur donner une couleur dorée lors de la cuisson.
Placez les bâtonnets sur la plaque de cuisson préparée et faites cuire pendant 15-20 minutes, ou jusqu'à ce qu'ils soient gonflés et dorés.
Laissez refroidir légèrement avant de servir.